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Calculadora de torsión

Calcular la torsión paso a paso

La calculadora hallará la torsión de la función vectorial dada en el punto dado, con los pasos mostrados.

Calculadora relacionada: Calculadora de curvatura

⟨\langle
,
,
⟩\rangle
Déjelo vacío si no necesita la torsión en un punto específico.

Si la calculadora no ha calculado algo o ha detectado un error, o si tiene alguna sugerencia o comentario, póngase en contacto con nosotros.

Su opinión

Hallar la torsión de r⃗(t)=⟨t2,t3,t⟩\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t^{2}, t^{3}, t\right\rangle.

Solución

Halla la derivada de r⃗(t)\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}: r⃗′(t)=⟨2t,3t2,1⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2 t, 3 t^{2}, 1\right\rangle (para ver los pasos, consulta calculadora de derivadas).

Halla la derivada de r⃗′(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}: r⃗′′(t)=⟨2,6t,0⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2, 6 t, 0\right\rangle (para ver los pasos, consulta calculadora de derivadas).

Hallar el producto cruz: r⃗′(t)×r⃗′′(t)=⟨−6t,2,6t2⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle - 6 t, 2, 6 t^{2}\right\rangle (para los pasos, véase calculadora del producto cruz).

Hallar la magnitud de r⃗′(t)×r⃗′′(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}: ∣r⃗′(t)×r⃗′′(t)∣=29t4+9t2+1\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1} (para los pasos, ver calculadora de magnitudes).

Halla la derivada de r⃗′′(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}: r⃗′′′(t)=⟨0,6,0⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 6, 0\right\rangle (para ver los pasos, consulta calculadora de derivadas).

Halla el producto punto: (r⃗′(t)×r⃗′′(t))⋅r⃗′′′(t)=12\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = 12 (para ver los pasos, consulta calculadora del producto punto).

Por último, la torsión es τ(t)=(r⃗′(t)×r⃗′′(t))⋅r⃗′′′(t)∣r⃗′(t)×r⃗′′(t)∣2=39t4+9t2+1.\tau\left(t\right) = \frac{\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{2}} = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}.

Respuesta

La torsión es τ(t)=39t4+9t2+1\tau\left(t\right) = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}A.