Calculadora de torsión

Calcular la torsión paso a paso

La calculadora hallará la torsión de la función vectorial dada en el punto dado, con los pasos mostrados.

Calculadora relacionada: Calculadora de curvatura

\langle
,
,
\rangle
Déjelo vacío si no necesita la torsión en un punto específico.

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Su opinión

Hallar la torsión de r(t)=t2,t3,t\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t^{2}, t^{3}, t\right\rangle.

Solución

Halla la derivada de r(t)\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}: r(t)=2t,3t2,1\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2 t, 3 t^{2}, 1\right\rangle (para ver los pasos, consulta calculadora de derivadas).

Halla la derivada de r(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}: r(t)=2,6t,0\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2, 6 t, 0\right\rangle (para ver los pasos, consulta calculadora de derivadas).

Hallar el producto cruz: r(t)×r(t)=6t,2,6t2\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle - 6 t, 2, 6 t^{2}\right\rangle (para los pasos, véase calculadora del producto cruz).

Hallar la magnitud de r(t)×r(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}: r(t)×r(t)=29t4+9t2+1\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1} (para los pasos, ver calculadora de magnitudes).

Halla la derivada de r(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}: r(t)=0,6,0\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 6, 0\right\rangle (para ver los pasos, consulta calculadora de derivadas).

Halla el producto punto: (r(t)×r(t))r(t)=12\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = 12 (para ver los pasos, consulta calculadora del producto punto).

Por último, la torsión es τ(t)=(r(t)×r(t))r(t)r(t)×r(t)2=39t4+9t2+1.\tau\left(t\right) = \frac{\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{2}} = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}.

Respuesta

La torsión es τ(t)=39t4+9t2+1\tau\left(t\right) = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}A.