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Calculatrice exponentielle matricielle

Trouver l'exponentielle d'une matrice pas à pas

Pour la matrice donnée AA, la calculatrice trouvera son exponentielle eAe^A, avec les étapes indiquées.

Calculatrice associée: Calculateur de puissance matricielle

A

Si la calculatrice n'a pas calculé quelque chose, si vous avez identifié une erreur ou si vous avez une suggestion ou un retour d'information, veuillez nous contacter.

Votre contribution

Trouvez e[3−101−4]e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]}.

Solution

Tout d'abord, diagonaliser la matrice (pour les étapes, voir calculatrice de diagonalisation de la matrice).

P=[5211]P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]

D=[100−2]D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]

Trouvez l'inverse de PP: P−1=[13−23−1353]P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right] (pour les étapes, voir calculateur d'inverse de matrice).

Maintenant, e[3−101−4]=e[5211]⋅[100−2]⋅[13−23−1353]=[5211]⋅e[100−2]⋅[13−23−1353].e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot e^{\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right].

L'exponentielle d'une matrice diagonale est une matrice dont les entrées diagonales sont exponentielles : e[100−2]=[e00e−2].e^{\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right].

Ainsi, e[3−101−4]=[5211]⋅[e00e−2]⋅[13−23−1353].e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right].

Enfin, multipliez les matrices :

[5211]⋅[e00e−2]=[5e2e2ee−2]\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 e & \frac{2}{e^{2}}\\e & e^{-2}\end{array}\right] (pour les étapes, voir calculatrice de multiplication de matrices).

[5e2e2ee−2]⋅[13−23−1353]=[−2+5e33e210−10e33e2−1+e33e25−2e33e2]\left[\begin{array}{cc}5 e & \frac{2}{e^{2}}\\e & e^{-2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{-2 + 5 e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{10 - 10 e^{3}}{3 e^{2}}\\\frac{-1 + e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{5 - 2 e^{3}}{3 e^{2}}\end{array}\right] (pour les étapes, voir calculatrice de multiplication de matrices).

Réponse

e[3−101−4]=[−2+5e33e210−10e33e2−1+e33e25−2e33e2]≈[4.440246191940667−8.6098218174081080.860982181740811−1.586629080245009]e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}\frac{-2 + 5 e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{10 - 10 e^{3}}{3 e^{2}}\\\frac{-1 + e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{5 - 2 e^{3}}{3 e^{2}}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}4.440246191940667 & -8.609821817408108\\0.860982181740811 & -1.586629080245009\end{array}\right]A