Inverse de $\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$

Calculer $\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]^{-1}$ en utilisant l'élimination de Gauss-Jordan.

Pour trouver la matrice inverse, augmentez-la avec la matrice identité et effectuez des opérations sur les lignes en essayant de faire passer la matrice identité à gauche. La matrice inverse se trouve alors à droite.

Il faut donc ajouter à la matrice la matrice d'identité :

$\left[\begin{array}{cc|cc}5 & 2 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$

Diviser la ligne $1$ par $5$: $R_{1} = \frac{R_{1}}{5}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$

Soustraire la ligne $1$ de la ligne $2$: $R_{2} = R_{2} - R_{1}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$

Multiplier la ligne $2$ par $\frac{5}{3}$: $R_{2} = \frac{5 R_{2}}{3}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$

Soustraire la ligne $2$ multipliée par $\frac{2}{5}$ de la ligne $1$: $R_{1} = R_{1} - \frac{2 R_{2}}{5}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$

Nous avons terminé. À gauche se trouve la matrice identité. À droite, la matrice inverse.

La matrice inverse est $\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right].$A