Umgekehrt von [5211]\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]

[5211]\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]Der Rechner findet die Umkehrung der quadratischen Matrix 22x22, mit den angegebenen Schritten.

Verwandte Rechner: Gauß-Jordan-Elimination-Rechner, Pseudoinversen-Rechner

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Berechnen Sie [5211]1\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]^{-1} unter Verwendung der Gauß-Jordan-Elimination.

Lösung

Um die inverse Matrix zu finden, ergänzen Sie sie mit der Identitätsmatrix und führen Zeilenoperationen durch, um die Identitätsmatrix nach links zu verschieben. Auf der rechten Seite befindet sich dann die inverse Matrix.

Erweitern Sie also die Matrix um die Identitätsmatrix:

[52101101]\left[\begin{array}{cc|cc}5 & 2 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]

Teilen Sie die Zeile 11 durch 55: R1=R15R_{1} = \frac{R_{1}}{5}.

[1251501101]\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]

Subtrahiere Zeile 11 von Zeile 22: R2=R2R1R_{2} = R_{2} - R_{1}.

[125150035151]\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & 1\end{array}\right]

Multiplizieren Sie die Zeile 22 mit 53\frac{5}{3}: R2=5R23R_{2} = \frac{5 R_{2}}{3}.

[125150011353]\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]

Subtrahieren Sie die Zeile 22 multipliziert mit 25\frac{2}{5} von der Zeile 11: R1=R12R25R_{1} = R_{1} - \frac{2 R_{2}}{5}.

[101323011353]\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]

Wir sind fertig. Auf der linken Seite ist die Identitätsmatrix. Auf der rechten Seite ist die inverse Matrix.

Antwort

Die inverse Matrix lautet [13231353][0.3333333333333330.6666666666666670.3333333333333331.666666666666667].\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right].A