Umgekehrt von $\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$

Berechnen Sie $\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]^{-1}$ unter Verwendung der Gauß-Jordan-Elimination.

Um die inverse Matrix zu finden, ergänzen Sie sie mit der Identitätsmatrix und führen Zeilenoperationen durch, um die Identitätsmatrix nach links zu verschieben. Auf der rechten Seite befindet sich dann die inverse Matrix.

Erweitern Sie also die Matrix um die Identitätsmatrix:

$\left[\begin{array}{cc|cc}5 & 2 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$

Teilen Sie die Zeile $1$ durch $5$: $R_{1} = \frac{R_{1}}{5}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$

Subtrahiere Zeile $1$ von Zeile $2$: $R_{2} = R_{2} - R_{1}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$

Multiplizieren Sie die Zeile $2$ mit $\frac{5}{3}$: $R_{2} = \frac{5 R_{2}}{3}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$

Subtrahieren Sie die Zeile $2$ multipliziert mit $\frac{2}{5}$ von der Zeile $1$: $R_{1} = R_{1} - \frac{2 R_{2}}{5}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$

Wir sind fertig. Auf der linken Seite ist die Identitätsmatrix. Auf der rechten Seite ist die inverse Matrix.

Die inverse Matrix lautet $\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right].$A