Odwrotność $\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$

Oblicz $\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]^{-1}$ używając eliminacji Gaussa-Jordana.

Aby znaleźć macierz odwrotną, powiększ ją o macierz identyczności i wykonaj operacje na wierszach, próbując ustawić macierz identyczności po lewej stronie. Wtedy po prawej stronie będzie macierz odwrotna.

Macierz należy więc powiększyć o macierz tożsamości:

$\left[\begin{array}{cc|cc}5 & 2 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$

Podziel wiersz $1$ przez $5$: $R_{1} = \frac{R_{1}}{5}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$

Odejmij wiersz $1$ od wiersza $2$: $R_{2} = R_{2} - R_{1}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$

Pomnóż wiersz $2$ przez $\frac{5}{3}$: $R_{2} = \frac{5 R_{2}}{3}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$

Odejmij wiersz $2$ pomnożony przez $\frac{2}{5}$ od wiersza $1$: $R_{1} = R_{1} - \frac{2 R_{2}}{5}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$

Skończyliśmy. Po lewej stronie znajduje się macierz tożsamości. Po prawej stronie znajduje się macierz odwrotna.

Macierz odwrotna to $\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right].$A