Inverso de $\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$

Calcular $\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]^{-1}$ utilizando la eliminación de Gauss-Jordan.

Para hallar la matriz inversa, auméntala con la matriz identidad y realiza operaciones de fila intentando que la matriz identidad quede a la izquierda. Entonces a la derecha será la matriz inversa.

Entonces, aumenta la matriz con la matriz identidad:

$\left[\begin{array}{cc|cc}5 & 2 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$

Divida la fila $1$ por $5$: $R_{1} = \frac{R_{1}}{5}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$

Restar la fila $1$ de la fila $2$: $R_{2} = R_{2} - R_{1}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$

Multiplica la fila $2$ por $\frac{5}{3}$: $R_{2} = \frac{5 R_{2}}{3}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$

Reste la fila $2$ multiplicada por $\frac{2}{5}$ de la fila $1$: $R_{1} = R_{1} - \frac{2 R_{2}}{5}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$

Hemos terminado. A la izquierda está la matriz identidad. A la derecha está la matriz inversa.

La matriz inversa es $\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right].$A