Inverso de $\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$

Calcule $\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]^{-1}$ usando a eliminação de Gauss-Jordan.

Para encontrar a matriz inversa, aumente-a com a matriz identidade e realize operações de linha tentando fazer com que a matriz identidade fique à esquerda. Então, à direita, estará a matriz inversa.

Portanto, aumente a matriz com a matriz identidade:

$\left[\begin{array}{cc|cc}5 & 2 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$

Divida a linha $1$ por $5$: $R_{1} = \frac{R_{1}}{5}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$

Subtraia a linha $1$ da linha $2$: $R_{2} = R_{2} - R_{1}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$

Multiplique a linha $2$ por $\frac{5}{3}$: $R_{2} = \frac{5 R_{2}}{3}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$

Subtraia a linha $2$ multiplicada por $\frac{2}{5}$ da linha $1$: $R_{1} = R_{1} - \frac{2 R_{2}}{5}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$

Terminamos. À esquerda está a matriz identidade. À direita está a matriz inversa.

A matriz inversa é $\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right].$A