Обернена до $\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$

Обчислити $\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]^{-1}$ за допомогою елімінації Гаусса-Йордана.

Щоб знайти обернену матрицю, доповніть її матрицею тотожності і виконайте операції над рядками, намагаючись перенести матрицю тотожності вліво. Тоді праворуч буде обернена матриця.

Отже, доповніть матрицю матрицею тотожності:

$\left[\begin{array}{cc|cc}5 & 2 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$

Розділіть рядок $1$ на $5$: $R_{1} = \frac{R_{1}}{5}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$

Від рядка $1$ відняти рядок $2$: $R_{2} = R_{2} - R_{1}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$

Помножте рядок $2$ на $\frac{5}{3}$: $R_{2} = \frac{5 R_{2}}{3}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$

Від рядка $1$ відняти рядок $2$ помножений на $\frac{2}{5}$: $R_{1} = R_{1} - \frac{2 R_{2}}{5}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$

Ми закінчили. Зліва – матриця тотожності. Праворуч – обернена матриця.

Обернена матриця має вигляд $\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right].$A