Inverso di $\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$

Calcolare $\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]^{-1}$ utilizzando l'eliminazione di Gauss-Jordan.

Per trovare la matrice inversa, aumentarla con la matrice identità ed eseguire le operazioni di riga cercando di rendere la matrice identità a sinistra. A destra si troverà la matrice inversa.

Quindi, aumentate la matrice con la matrice identità:

$\left[\begin{array}{cc|cc}5 & 2 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$

Dividere la riga $1$ per $5$: $R_{1} = \frac{R_{1}}{5}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$

Sottrarre la riga $1$ dalla riga $2$: $R_{2} = R_{2} - R_{1}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$

Moltiplicare la riga $2$ per $\frac{5}{3}$: $R_{2} = \frac{5 R_{2}}{3}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$

Sottrarre la riga $2$ moltiplicata per $\frac{2}{5}$ dalla riga $1$: $R_{1} = R_{1} - \frac{2 R_{2}}{5}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$

Abbiamo finito. A sinistra c'è la matrice identità. A destra la matrice inversa.

La matrice inversa è $\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right].$A