Calcolatrice esponenziale a matrice

Trovare la matrice esponenziale passo dopo passo

Per la matrice data AA, la calcolatrice troverà il suo esponenziale eAe^A, con i passi indicati.

Calcolatrice correlata: Calcolatore di potenza a matrice

A

Se la calcolatrice non ha calcolato qualcosa, se avete individuato un errore o se avete un suggerimento/feedback, contattateci.

Il vostro contributo

Trova e[31014]e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]}.

Soluzione

Per prima cosa, diagonalizzare la matrice (per i passaggi, vedere calcolatore di diagonalizzazione della matrice).

P=[5211]P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]

D=[1002]D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]

Trovare l'inverso di PP: P1=[13231353]P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right] (per i passaggi, vedere calcolatrice dell'inverso della matrice).

Ora, e[31014]=e[5211][1002][13231353]=[5211]e[1002][13231353].e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot e^{\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right].

L'esponenziale di una matrice diagonale è una matrice le cui voci diagonali sono esponenziate: e[1002]=[e00e2].e^{\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right].

Pertanto, e[31014]=[5211][e00e2][13231353].e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right].

Infine, moltiplicare le matrici:

[5211][e00e2]=[5e2e2ee2]\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 e & \frac{2}{e^{2}}\\e & e^{-2}\end{array}\right] (per i passaggi, vedere calcolatrice di moltiplicazione matriciale).

[5e2e2ee2][13231353]=[2+5e33e21010e33e21+e33e252e33e2]\left[\begin{array}{cc}5 e & \frac{2}{e^{2}}\\e & e^{-2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{-2 + 5 e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{10 - 10 e^{3}}{3 e^{2}}\\\frac{-1 + e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{5 - 2 e^{3}}{3 e^{2}}\end{array}\right] (per i passaggi, vedere calcolatrice di moltiplicazione matriciale).

Risposta

e[31014]=[2+5e33e21010e33e21+e33e252e33e2][4.4402461919406678.6098218174081080.8609821817408111.586629080245009]e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}\frac{-2 + 5 e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{10 - 10 e^{3}}{3 e^{2}}\\\frac{-1 + e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{5 - 2 e^{3}}{3 e^{2}}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}4.440246191940667 & -8.609821817408108\\0.860982181740811 & -1.586629080245009\end{array}\right]A