Kalkulator składowej stycznej przyspieszenia

Znajdź styczną składową przyspieszenia dla $\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle$.

Znajdź pochodną $\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$: $\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 2 t, 3 t^{2}\right\rangle$ (kroki można znaleźć w kalkulator pochodnych).

Znajdź wielkość $\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$: $\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}$ (kroki można znaleźć w kalkulator wielkości).

Znajdź pochodną $\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$: $\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 2, 6 t\right\rangle$ (kroki można znaleźć w kalkulator pochodnych).

Znajdź iloczyn skalarny: $\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = 18 t^{3} + 4 t$ (kroki można znaleźć w kalkulator iloczynu skalarnego).

Składowa styczna przyspieszenia to $a_T\left(t\right) = \frac{\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}} = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}.$

Składowa styczna przyspieszenia wynosi $a_T\left(t\right) = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}$A.