English | Deutsch | Español | Português | Français | Italiano | Українська
  1. Strona główna
  2. Kalkulatory
  3. Kalkulatory: Algebra liniowa
  4. Algebra liniowa Kalkulator

Macierz wykładnicza Kalkulator

Znajdowanie macierzy wykładniczej krok po kroku

Dla danej macierzy AA, kalkulator znajdzie jej wykładniczy eAe^A, z pokazanymi krokami.

Powiązany kalkulator: Kalkulator mocy matrycy

A

Jeśli kalkulator nie obliczył czegoś lub zidentyfikowałeś błąd, lub masz sugestię / opinię, skontaktuj się z nami.

Twój wkład

Znajdź e[3−101−4]e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]}.

Rozwiązanie

Najpierw należy zdiagonalizować macierz (kroki można znaleźć w kalkulator diagonalizacji macierzy).

P=[5211]P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]

D=[100−2]D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]

Znajdź odwrotność PP: P−1=[13−23−1353]P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right] (kroki można znaleźć w kalkulator odwrotności macierzy).

Teraz, e[3−101−4]=e[5211]⋅[100−2]⋅[13−23−1353]=[5211]⋅e[100−2]⋅[13−23−1353].e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot e^{\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right].

Wykładnik macierzy diagonalnej to macierz, której wpisy diagonalne są potęgowane: e[100−2]=[e00e−2].e^{\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right].

Tak więc, e[3−101−4]=[5211]⋅[e00e−2]⋅[13−23−1353].e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right].

Na koniec należy pomnożyć macierze:

[5211]⋅[e00e−2]=[5e2e2ee−2]\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 e & \frac{2}{e^{2}}\\e & e^{-2}\end{array}\right] (kroki można znaleźć w kalkulator mnożenia macierzy).

[5e2e2ee−2]⋅[13−23−1353]=[−2+5e33e210−10e33e2−1+e33e25−2e33e2]\left[\begin{array}{cc}5 e & \frac{2}{e^{2}}\\e & e^{-2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{-2 + 5 e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{10 - 10 e^{3}}{3 e^{2}}\\\frac{-1 + e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{5 - 2 e^{3}}{3 e^{2}}\end{array}\right] (kroki można znaleźć w kalkulator mnożenia macierzy).

Odpowiedź

e[3−101−4]=[−2+5e33e210−10e33e2−1+e33e25−2e33e2]≈[4.440246191940667−8.6098218174081080.860982181740811−1.586629080245009]e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}\frac{-2 + 5 e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{10 - 10 e^{3}}{3 e^{2}}\\\frac{-1 + e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{5 - 2 e^{3}}{3 e^{2}}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}4.440246191940667 & -8.609821817408108\\0.860982181740811 & -1.586629080245009\end{array}\right]A