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Curvatura de r⃗(x)=⟨x,x2,0⟩\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle

A calculadora encontrará a curvatura de r⃗(x)=⟨x,x2,0⟩\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle, com as etapas mostradas.

Calculadoras relacionadas: Calculadora de vetores binormais unitários, Calculadora de torção

⟨\langle
,
,
⟩\rangle
Se você tiver uma função explícita y=f(x)y = f{\left(x \right)}, insira-a como xx, f(x)f{\left(x \right)}, 00. Por exemplo, a curvatura de y=x2y = x^{2} pode ser encontrada aqui.
Deixe em branco se não precisar da curvatura em um ponto específico.

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Encontre a curvatura de r⃗(x)=⟨x,x2,0⟩\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle.

Solução

Encontre a derivada de r⃗(x)\mathbf{\vec{r}\left(x\right)}: r⃗′(x)=⟨1,2x,0⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)} = \left\langle 1, 2 x, 0\right\rangle (para obter as etapas, consulte calculadora de derivada).

Encontre a magnitude de r⃗′(x)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}: ∣r⃗′(x)∣=4x2+1\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 x^{2} + 1} (para obter as etapas, consulte calculadora de magnitude).

Encontre a derivada de r⃗′(x)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}: r⃗′′(x)=⟨0,2,0⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)} = \left\langle 0, 2, 0\right\rangle (para obter as etapas, consulte calculadora de derivada).

Encontre o produto cruzado: r⃗′(x)×r⃗′′(x)=⟨0,0,2⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle (para obter as etapas, consulte calculadora de produto cruzado).

Encontre a magnitude de r⃗′(x)×r⃗′′(x)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}: ∣r⃗′(x)×r⃗′′(x)∣=2\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}\right\rvert} = 2 (para obter as etapas, consulte calculadora de magnitude).

Por fim, a curvatura é κ(x)=∣r⃗′(x)×r⃗′′(x)∣∣r⃗′(x)∣3=2(4x2+1)32.\kappa\left(x\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\right\rvert}^{3}} = \frac{2}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}.

Resposta

A curvatura é κ(x)=2(4x2+1)32\kappa\left(x\right) = \frac{2}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}A.