Калькулятор тангенціальної складової прискорення

Покроково знайдіть тангенціальну складову прискорення

Калькулятор знайде тангенціальну складову прискорення для об'єкта, що описується векторною функцією, в заданій точці з кроком, який показано на рисунку.

Пов'язані калькулятори: Калькулятор кривизни, Нормальна складова калькулятора прискорення

\langle \rangle
Через кому.
Залиште порожнім, якщо вам не потрібна тангенціальна складова в конкретній точці.

Якщо калькулятор щось не розрахував або ви виявили помилку, або у вас є пропозиція/відгук, будь ласка, зв'яжіться з нами.

Ваш запит

Знайдіть тангенціальну складову прискорення для r(t)=t,t2,t3\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle.

Розв'язок

Знайдіть похідну від r(t)\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}: r(t)=1,2t,3t2\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 2 t, 3 t^{2}\right\rangle (кроки див. у калькулятор похідних).

Знайдіть амплітуду r(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}: r(t)=9t4+4t2+1\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1} (кроки див. у калькулятор амплітуд).

Знайдіть похідну від r(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}: r(t)=0,2,6t\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 2, 6 t\right\rangle (кроки див. у калькулятор похідних).

Знайдіть точковий добуток: r(t)r(t)=18t3+4t\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = 18 t^{3} + 4 t (кроки див. у калькулятор точкового добутку).

Нарешті, тангенціальна складова прискорення – це aT(t)=r(t)r(t)r(t)=18t3+4t9t4+4t2+1.a_T\left(t\right) = \frac{\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}} = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}.

Відповідь

Тангенціальна складова прискорення дорівнює aT(t)=18t3+4t9t4+4t2+1a_T\left(t\right) = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}A.