Rechner für Winkel zwischen Vektoren

Schrittweise Ermittlung des Winkels zwischen Vektoren

Der Rechner ermittelt den Winkel (in Radiant und Grad) zwischen den beiden Vektoren und zeigt die Arbeit an.

\langle \rangle
Komma-getrennt.
\langle \rangle
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Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren u=5,2,3\mathbf{\vec{u}} = \left\langle 5, -2, 3\right\rangle und v=4,5,7\mathbf{\vec{v}} = \left\langle -4, 5, 7\right\rangle.

Lösung

Berechnen Sie zunächst das Punktprodukt: uv=9\mathbf{\vec{u}}\cdot \mathbf{\vec{v}} = -9 (Schritte siehe Punktproduktrechner).

Ermitteln Sie nun die Längen der Vektoren:

u=38\mathbf{\left\lvert\vec{u}\right\rvert} = \sqrt{38} (für Schritte siehe Vektorlängenrechner).

v=310\mathbf{\left\lvert\vec{v}\right\rvert} = 3 \sqrt{10} (für Schritte siehe Vektorlängenrechner).

Der Winkel schließlich ist durch cos(ϕ)=uvuv=9(38)(310)=395190\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\mathbf{\vec{u}}\cdot \mathbf{\vec{v}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u}\right\rvert} \mathbf{\left\lvert\vec{v}\right\rvert}} = \frac{-9}{\left(\sqrt{38}\right)\cdot \left(3 \sqrt{10}\right)} = - \frac{3 \sqrt{95}}{190} gegeben (bei komplexen Zahlen müssen wir den Realteil des Punktprodukts nehmen).

ϕ=acos(395190)=(180acos(395190)π)\phi = \operatorname{acos}{\left(- \frac{3 \sqrt{95}}{190} \right)} = \left(\frac{180 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3 \sqrt{95}}{190} \right)}}{\pi}\right)^{\circ}

Antwort

Winkel im Bogenmaß: ϕ=acos(395190)1.725307134097968\phi = \operatorname{acos}{\left(- \frac{3 \sqrt{95}}{190} \right)}\approx 1.725307134097968A.

Winkel in Grad: ϕ=(180acos(395190)π)98.852817147625106.\phi = \left(\frac{180 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3 \sqrt{95}}{190} \right)}}{\pi}\right)^{\circ}\approx 98.852817147625106^{\circ}.A