Rechner für Eigenwerte und Eigenvektoren

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Schritt für Schritt

Der Rechner findet die Eigenwerte und Eigenvektoren (Eigenraum) der gegebenen quadratischen Matrix, wobei die Schritte angezeigt werden.

Zugehöriger Rechner: Rechner für charakteristische Polynome

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Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von [1203]\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\0 & 3\end{array}\right].

Lösung

Bilden Sie zunächst eine neue Matrix, indem Sie λ\lambda von den Diagonaleinträgen der gegebenen Matrix subtrahieren: [1λ203λ]\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\0 & 3 - \lambda\end{array}\right].

Die Determinante der erhaltenen Matrix ist (λ3)(λ1)\left(\lambda - 3\right) \left(\lambda - 1\right) (für Schritte, siehe Determinantenrechner).

Lösen Sie die Gleichung (λ3)(λ1)=0\left(\lambda - 3\right) \left(\lambda - 1\right) = 0.

Die Wurzeln sind λ1=3\lambda_{1} = 3, λ2=1\lambda_{2} = 1 (für Schritte siehe Gleichungslöser).

Dies sind die Eigenwerte.

Als nächstes sind die Eigenvektoren zu ermitteln.

  • λ=3\lambda = 3

    [1λ203λ]=[2200]\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\0 & 3 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-2 & 2\\0 & 0\end{array}\right]

    Der Nullraum dieser Matrix ist {[11]}\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]\right\} (für Schritte siehe Nullraumrechner).

    Dies ist der Eigenvektor.

  • λ=1\lambda = 1

    [1λ203λ]=[0202]\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\0 & 3 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 2\\0 & 2\end{array}\right]

    Der Nullraum dieser Matrix ist {[10]}\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]\right\} (für Schritte siehe Nullraumrechner).

    Dies ist der Eigenvektor.

Antwort

Eigenwert: 33A, Multiplizität: 11A, Eigenvektor: [11]\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]A.

Eigenwert: 11A, Multiplizität: 11A, Eigenvektor: [10]\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]A.