Calculateur de décomposition en valeur singulière

Trouver la SVD d'une matrice étape par étape

La calculatrice trouvera la décomposition en valeurs singulières (SVD) de la matrice donnée, avec les étapes indiquées.

Calculatrice associée: Calculatrice de pseudo-inverse

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Trouver la SVD de [011220011]\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right].

Solution

Trouver la transposée de la matrice : [011220011]T=[020121101]\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right] (pour les étapes, voir calculatrice de transposée de matrice).

Multiplier la matrice par sa transposée : W=[011220011][020121101]=[222262222]W = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right] (pour les étapes, voir calculatrice de multiplication de matrice).

Trouvez maintenant les valeurs propres et les vecteurs propres de WW (pour les étapes, voir Calculateur de valeurs propres et de vecteurs propres).

Valeur propre : 88, vecteur propre : [121]\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right].

Valeur propre : 22, vecteur propre : [111]\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right].

Valeur propre : 00, vecteur propre : [101]\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right].

Trouver les racines carrées des valeurs propres non nulles (σi\sigma_{i}) :

σ1=22\sigma_{1} = 2 \sqrt{2}

σ2=2\sigma_{2} = \sqrt{2}

La matrice Σ\Sigma est une matrice zéro avec σi\sigma_{i} sur sa diagonale : Σ=[2200020000]\Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right].

Les colonnes de la matrice UU sont les vecteurs normalisés (unitaires) : U=[66332263330663322]U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right] (pour les étapes de recherche d'un vecteur unitaire, voir calculateur de vecteurs unitaires).

Maintenant, vi=1σi[011220011]Tuiv_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}:

v1=1σ1[011220011]Tu1=122[020121101][666366]=[663236]v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6}\end{array}\right] (pour les étapes, voir calculatrice de multiplication scalaire de la matrice et calculatrice de multiplication de la matrice).

v2=1σ2[011220011]Tu2=12[020121101][333333]=[33063]v_{2} = \frac{1}{\sigma_{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{3}\\- \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{3}}{3}\\0\\\frac{\sqrt{6}}{3}\end{array}\right] (pour les étapes, voir calculatrice de multiplication scalaire de la matrice et calculatrice de multiplication de la matrice).

Puisque nous n'avons plus de σi\sigma_{i} non nuls et que nous avons besoin d'un vecteur supplémentaire, trouvez le vecteur orthogonal à tous les vecteurs trouvés en trouvant l'espace nul de la matrice dont les lignes sont les vecteurs trouvés : [211]\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}\\-1\\1\end{array}\right] (pour les étapes, voir calculateur d'espace nul).

Normaliser le vecteur : il devient [221212]\left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\- \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{array}\right], (pour les étapes, voir calculateur de vecteur unitaire).

Par conséquent, V=[66332232012366312].V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right].

Les matrices UU, Σ\Sigma, et VV sont telles que la matrice initiale [011220011]=UΣVT\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right] = U \Sigma V^T.

Réponse

U=[66332263330663322][0.4082482904638630.5773502691896260.7071067811865480.8164965809277260.57735026918962600.4082482904638630.5773502691896260.707106781186548]U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & 0.577350269189626 & -0.707106781186548\\0.816496580927726 & -0.577350269189626 & 0\\0.408248290463863 & 0.577350269189626 & 0.707106781186548\end{array}\right]A

Σ=[2200020000][2.828427124746190001.4142135623730950000]\Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}2.82842712474619 & 0 & 0\\0 & 1.414213562373095 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]A

V=[66332232012366312][0.4082482904638630.5773502691896260.7071067811865480.86602540378443900.50.2886751345948130.8164965809277260.5]V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & -0.577350269189626 & 0.707106781186548\\0.866025403784439 & 0 & -0.5\\0.288675134594813 & 0.816496580927726 & 0.5\end{array}\right]A