Calculateur de décomposition en valeur singulière

Trouver la SVD de $\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]$.

Trouver la transposée de la matrice : $\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]$ (pour les étapes, voir calculatrice de transposée de matrice).

Multiplier la matrice par sa transposée : $W = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$ (pour les étapes, voir calculatrice de multiplication de matrice).

Trouvez maintenant les valeurs propres et les vecteurs propres de $W$ (pour les étapes, voir Calculateur de valeurs propres et de vecteurs propres).

Valeur propre : $8$, vecteur propre : $\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$.

Valeur propre : $2$, vecteur propre : $\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$.

Valeur propre : $0$, vecteur propre : $\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$.

Trouver les racines carrées des valeurs propres non nulles ($\sigma_{i}$) :

$\sigma_{1} = 2 \sqrt{2}$

$\sigma_{2} = \sqrt{2}$

La matrice $\Sigma$ est une matrice zéro avec $\sigma_{i}$ sur sa diagonale : $\Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]$.

Les colonnes de la matrice $U$ sont les vecteurs normalisés (unitaires) : $U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$ (pour les étapes de recherche d'un vecteur unitaire, voir calculateur de vecteurs unitaires).

Maintenant, $v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$:

$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6}\end{array}\right]$ (pour les étapes, voir calculatrice de multiplication scalaire de la matrice et calculatrice de multiplication de la matrice).

$v_{2} = \frac{1}{\sigma_{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{3}\\- \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{3}}{3}\\0\\\frac{\sqrt{6}}{3}\end{array}\right]$ (pour les étapes, voir calculatrice de multiplication scalaire de la matrice et calculatrice de multiplication de la matrice).

Puisque nous n'avons plus de $\sigma_{i}$ non nuls et que nous avons besoin d'un vecteur supplémentaire, trouvez le vecteur orthogonal à tous les vecteurs trouvés en trouvant l'espace nul de la matrice dont les lignes sont les vecteurs trouvés : $\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}\\-1\\1\end{array}\right]$ (pour les étapes, voir calculateur d'espace nul).

Normaliser le vecteur : il devient $\left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\- \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{array}\right]$, (pour les étapes, voir calculateur de vecteur unitaire).

Par conséquent, $V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right].$

Les matrices $U$, $\Sigma$, et $V$ sont telles que la matrice initiale $\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right] = U \Sigma V^T$.

$U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & 0.577350269189626 & -0.707106781186548\\0.816496580927726 & -0.577350269189626 & 0\\0.408248290463863 & 0.577350269189626 & 0.707106781186548\end{array}\right]$A

$\Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}2.82842712474619 & 0 & 0\\0 & 1.414213562373095 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]$A

$V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & -0.577350269189626 & 0.707106781186548\\0.866025403784439 & 0 & -0.5\\0.288675134594813 & 0.816496580927726 & 0.5\end{array}\right]$A