Calculadora de decomposição de valor singular

Encontre a SVD de uma matriz passo a passo

A calculadora encontrará a decomposição do valor singular (SVD) da matriz fornecida, com as etapas mostradas.

Calculadora relacionada: Calculadora de Pseudoinversos

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Encontre o SVD de [011220011]\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right].

Solução

Encontre a transposição da matriz: [011220011]T=[020121101]\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right] (para ver as etapas, consulte Calculadora de transposição de matriz).

Multiplique a matriz por sua transposição: W=[011220011][020121101]=[222262222]W = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right] (para ver as etapas, consulte calculadora de multiplicação de matrizes).

Agora, encontre os valores e vetores próprios de WW (para ver as etapas, consulte calculadora de valores e vetores próprios).

Eigenvalue (valor próprio): 88, eigenvector: [121]\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right].

Eigenvalue (valor próprio): 22, eigenvector: [111]\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right].

Eigenvalue (valor próprio): 00, eigenvector: [101]\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right].

Encontre as raízes quadradas dos valores próprios não nulos (σi\sigma_{i}):

σ1=22\sigma_{1} = 2 \sqrt{2}

σ2=2\sigma_{2} = \sqrt{2}

A matriz Σ\Sigma é uma matriz zero com σi\sigma_{i} em sua diagonal: Σ=[2200020000]\Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right].

As colunas da matriz UU são os vetores normalizados (unitários): U=[66332263330663322]U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right] (para saber as etapas para encontrar um vetor unitário, consulte calculadora de vetor unitário).

Agora, vi=1σi[011220011]Tuiv_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}:

v1=1σ1[011220011]Tu1=122[020121101][666366]=[663236]v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6}\end{array}\right] (para ver as etapas, consulte calculadora de multiplicação escalar de matrizes e calculadora de multiplicação de matrizes).

v2=1σ2[011220011]Tu2=12[020121101][333333]=[33063]v_{2} = \frac{1}{\sigma_{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{3}\\- \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{3}}{3}\\0\\\frac{\sqrt{6}}{3}\end{array}\right] (para ver as etapas, consulte calculadora de multiplicação escalar de matrizes e calculadora de multiplicação de matrizes).

Como ficamos sem nenhum σi\sigma_{i} diferente de zero e precisamos de mais um vetor, encontre o vetor ortogonal a todos os vetores encontrados encontrando o espaço nulo da matriz cujas linhas são os vetores encontrados: [211]\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}\\-1\\1\end{array}\right] (para ver as etapas, consulte Calculadora de espaço nulo).

Normalize o vetor: ele se torna [221212]\left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\- \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{array}\right], (para ver as etapas, consulte calculadora de vetor unitário).

Portanto, V=[66332232012366312].V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right].

As matrizes UU, Σ\Sigma e VV são tais que a matriz inicial [011220011]=UΣVT\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right] = U \Sigma V^T.

Resposta

U=[66332263330663322][0.4082482904638630.5773502691896260.7071067811865480.8164965809277260.57735026918962600.4082482904638630.5773502691896260.707106781186548]U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & 0.577350269189626 & -0.707106781186548\\0.816496580927726 & -0.577350269189626 & 0\\0.408248290463863 & 0.577350269189626 & 0.707106781186548\end{array}\right]A

Σ=[2200020000][2.828427124746190001.4142135623730950000]\Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}2.82842712474619 & 0 & 0\\0 & 1.414213562373095 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]A

V=[66332232012366312][0.4082482904638630.5773502691896260.7071067811865480.86602540378443900.50.2886751345948130.8164965809277260.5]V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & -0.577350269189626 & 0.707106781186548\\0.866025403784439 & 0 & -0.5\\0.288675134594813 & 0.816496580927726 & 0.5\end{array}\right]A