Ableitung von ln(x + 1)

Der Taschenrechner ermittelt die Ableitung von

\ln\left(x + 1\right)

, wobei die Schritte angezeigt werden.

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Finden Sie $\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + 1\right)\right)$ .

Lösung

Die Funktion $\ln\left(x + 1\right)$ ist die Zusammensetzung $f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$ von zwei Funktionen $f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$ und $g{\left(x \right)} = x + 1$ .

Wenden Sie die Kettenregel $\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$ an:

{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + 1\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(x + 1\right)\right)}

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus lautet $\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$ :

{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(x + 1\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(x + 1\right)

Rückkehr zur alten Variable:

\frac{\frac{d}{dx} \left(x + 1\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(x + 1\right)}{{\color{red}\left(x + 1\right)}}

Die Ableitung einer Summe/Differenz ist die Summe/Differenz der Ableitungen:

\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x + 1\right)\right)}}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) + \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{x + 1}

Wenden Sie die Potenzregel $\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$ mit $n = 1$ an, d. h. $\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$ :

\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right)}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(1\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right)}{x + 1}

Die Ableitung einer Konstanten ist $0$ :

\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} + 1}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} + 1}{x + 1}

Daher $\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + 1\right)\right) = \frac{1}{x + 1}$ .

Antwort

$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + 1\right)\right) = \frac{1}{x + 1}$ A

Ableitung von ln⁡(x+1)\ln\left(x + 1\right)ln(x+1)

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Lösung

Antwort

Ableitung von $\ln\left(x + 1\right)$