La calculatrice trouvera la matrice des cofacteurs de la matrice carrée donnée, avec les étapes indiquées.
Solution La matrice des cofacteurs comprend tous les cofacteurs de la matrice donnée, qui sont calculés selon la formule C i j = ( − 1 ) i + j M i j C_{ij}=\left(-1\right)^{i+j}M_{ij} C ij = ( − 1 ) i + j M ij , où M i j M_{ij} M ij est le mineur , c'est-à-dire le déterminant de la sous-matrice formée par la suppression de la ligne i i i et de la colonne j j j de la matrice donnée.
Calculer tous les cofacteurs :
C 11 = ( − 1 ) 1 + 1 ∣ 5 6 8 9 ∣ = − 3 C_{11} = \left(-1\right)^{1 + 1} \left|\begin{array}{cc}5 & 6\\8 & 9\end{array}\right| = -3 C 11 = ( − 1 ) 1 + 1 ∣ ∣ 5 8 6 9 ∣ ∣ = − 3 (pour les étapes, voir calculatrice de déterminants ).
C 12 = ( − 1 ) 1 + 2 ∣ 4 6 7 9 ∣ = 6 C_{12} = \left(-1\right)^{1 + 2} \left|\begin{array}{cc}4 & 6\\7 & 9\end{array}\right| = 6 C 12 = ( − 1 ) 1 + 2 ∣ ∣ 4 7 6 9 ∣ ∣ = 6 (pour les étapes, voir calculatrice de déterminants ).
C 13 = ( − 1 ) 1 + 3 ∣ 4 5 7 8 ∣ = − 3 C_{13} = \left(-1\right)^{1 + 3} \left|\begin{array}{cc}4 & 5\\7 & 8\end{array}\right| = -3 C 13 = ( − 1 ) 1 + 3 ∣ ∣ 4 7 5 8 ∣ ∣ = − 3 (pour les étapes, voir calculatrice de déterminants ).
C 21 = ( − 1 ) 2 + 1 ∣ 2 3 8 9 ∣ = 6 C_{21} = \left(-1\right)^{2 + 1} \left|\begin{array}{cc}2 & 3\\8 & 9\end{array}\right| = 6 C 21 = ( − 1 ) 2 + 1 ∣ ∣ 2 8 3 9 ∣ ∣ = 6 (pour les étapes, voir calculatrice de déterminants ).
C 22 = ( − 1 ) 2 + 2 ∣ 1 3 7 9 ∣ = − 12 C_{22} = \left(-1\right)^{2 + 2} \left|\begin{array}{cc}1 & 3\\7 & 9\end{array}\right| = -12 C 22 = ( − 1 ) 2 + 2 ∣ ∣ 1 7 3 9 ∣ ∣ = − 12 (pour les étapes, voir calculatrice de déterminants ).
C 23 = ( − 1 ) 2 + 3 ∣ 1 2 7 8 ∣ = 6 C_{23} = \left(-1\right)^{2 + 3} \left|\begin{array}{cc}1 & 2\\7 & 8\end{array}\right| = 6 C 23 = ( − 1 ) 2 + 3 ∣ ∣ 1 7 2 8 ∣ ∣ = 6 (pour les étapes, voir calculatrice de déterminants ).
C 31 = ( − 1 ) 3 + 1 ∣ 2 3 5 6 ∣ = − 3 C_{31} = \left(-1\right)^{3 + 1} \left|\begin{array}{cc}2 & 3\\5 & 6\end{array}\right| = -3 C 31 = ( − 1 ) 3 + 1 ∣ ∣ 2 5 3 6 ∣ ∣ = − 3 (pour les étapes, voir calculatrice de déterminants ).
C 32 = ( − 1 ) 3 + 2 ∣ 1 3 4 6 ∣ = 6 C_{32} = \left(-1\right)^{3 + 2} \left|\begin{array}{cc}1 & 3\\4 & 6\end{array}\right| = 6 C 32 = ( − 1 ) 3 + 2 ∣ ∣ 1 4 3 6 ∣ ∣ = 6 (pour les étapes, voir calculatrice de déterminants ).
C 33 = ( − 1 ) 3 + 3 ∣ 1 2 4 5 ∣ = − 3 C_{33} = \left(-1\right)^{3 + 3} \left|\begin{array}{cc}1 & 2\\4 & 5\end{array}\right| = -3 C 33 = ( − 1 ) 3 + 3 ∣ ∣ 1 4 2 5 ∣ ∣ = − 3 (pour les étapes, voir calculatrice de déterminants ).
La matrice du cofacteur est donc [ − 3 6 − 3 6 − 12 6 − 3 6 − 3 ] \left[\begin{array}{ccc}-3 & 6 & -3\\6 & -12 & 6\\-3 & 6 & -3\end{array}\right] ⎣ ⎡ − 3 6 − 3 6 − 12 6 − 3 6 − 3 ⎦ ⎤ .
Réponse La matrice des cofacteurs est [ − 3 6 − 3 6 − 12 6 − 3 6 − 3 ] \left[\begin{array}{ccc}-3 & 6 & -3\\6 & -12 & 6\\-3 & 6 & -3\end{array}\right] ⎣ ⎡ − 3 6 − 3 6 − 12 6 − 3 6 − 3 ⎦ ⎤ A .