Калькулятор розкладання сингулярних величин

Знайдіть SVD на сайті $\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]$.

Знайдіть транспонування матриці: $\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]$ (кроки див. у калькулятор транспонування матриць).

Помножити матрицю на її транспоненту: $W = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$ (кроки див. у калькулятор множення матриць).

Тепер знайдіть власні значення та власні вектори $W$ (кроки див. у калькулятор власних значень та власних векторів).

Власне значення: $8$, власний вектор: $\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$.

Власне значення: $2$, власний вектор: $\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$.

Власне значення: $0$, власний вектор: $\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$.

Знайдіть квадратні корені з ненульових власних значень ($\sigma_{i}$):

$\sigma_{1} = 2 \sqrt{2}$

$\sigma_{2} = \sqrt{2}$

Матриця $\Sigma$ є нульовою матрицею з $\sigma_{i}$ на діагоналі: $\Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]$.

Стовпці матриці $U$ є нормалізованими (одиничними) векторами: $U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$ (кроки для знаходження одиничного вектора див. у Калькулятор одиничних векторів).

Тепер $v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$:

$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6}\end{array}\right]$ (кроки див. у калькулятор множення матриць скалярів та калькулятор множення матриць).

$v_{2} = \frac{1}{\sigma_{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{3}\\- \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{3}}{3}\\0\\\frac{\sqrt{6}}{3}\end{array}\right]$ (кроки див. у калькулятор множення матриць скалярів та калькулятор множення матриць).

Оскільки у нас закінчилися ненульові $\sigma_{i}$ і нам потрібен ще один вектор, знайдіть вектор, ортогональний до всіх знайдених векторів, шляхом знаходження нульового простору матриці, рядки якої є знайденими векторами: $\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}\\-1\\1\end{array}\right]$ (кроки дивіться у Калькулятор нульового простору).

Нормалізуйте вектор: він стане $\left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\- \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{array}\right]$, (кроки див. у Калькулятор одиничних векторів).

Тому $V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right].$

Матриці $U$, $\Sigma$, та $V$ такі, що початкова матриця $\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right] = U \Sigma V^T$.

$U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & 0.577350269189626 & -0.707106781186548\\0.816496580927726 & -0.577350269189626 & 0\\0.408248290463863 & 0.577350269189626 & 0.707106781186548\end{array}\right]$A

$\Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}2.82842712474619 & 0 & 0\\0 & 1.414213562373095 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]$A

$V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & -0.577350269189626 & 0.707106781186548\\0.866025403784439 & 0 & -0.5\\0.288675134594813 & 0.816496580927726 & 0.5\end{array}\right]$A