Розв'язок Знайдіть транспонування матриці: [ 0 1 1 2 2 0 0 1 1 ] T = [ 0 2 0 1 2 1 1 0 1 ] \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right] ⎣ ⎡ 0 2 0 1 2 1 1 0 1 ⎦ ⎤ T = ⎣ ⎡ 0 1 1 2 2 0 0 1 1 ⎦ ⎤ (кроки див. у калькулятор транспонування матриць ).
Помножити матрицю на її транспоненту: W = [ 0 1 1 2 2 0 0 1 1 ] ⋅ [ 0 2 0 1 2 1 1 0 1 ] = [ 2 2 2 2 6 2 2 2 2 ] W = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right] W = ⎣ ⎡ 0 2 0 1 2 1 1 0 1 ⎦ ⎤ ⋅ ⎣ ⎡ 0 1 1 2 2 0 0 1 1 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 2 2 2 2 6 2 2 2 2 ⎦ ⎤ (кроки див. у калькулятор множення матриць ).
Тепер знайдіть власні значення та власні вектори W W W (кроки див. у калькулятор власних значень та власних векторів ).
Власне значення: 8 8 8 , власний вектор: [ 1 2 1 ] \left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 2 1 ⎦ ⎤ .
Власне значення: 2 2 2 , власний вектор: [ 1 − 1 1 ] \left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 − 1 1 ⎦ ⎤ .
Власне значення: 0 0 0 , власний вектор: [ − 1 0 1 ] \left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right] ⎣ ⎡ − 1 0 1 ⎦ ⎤ .
Знайдіть квадратні корені з ненульових власних значень (σ i \sigma_{i} σ i ):
σ 1 = 2 2 \sigma_{1} = 2 \sqrt{2} σ 1 = 2 2
σ 2 = 2 \sigma_{2} = \sqrt{2} σ 2 = 2
Матриця Σ \Sigma Σ є нульовою матрицею з σ i \sigma_{i} σ i на діагоналі: Σ = [ 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 ] \Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right] Σ = ⎣ ⎡ 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 ⎦ ⎤ .
Стовпці матриці U U U є нормалізованими (одиничними) векторами: U = [ 6 6 3 3 − 2 2 6 3 − 3 3 0 6 6 3 3 2 2 ] U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right] U = ⎣ ⎡ 6 6 3 6 6 6 3 3 − 3 3 3 3 − 2 2 0 2 2 ⎦ ⎤ (кроки для знаходження одиничного вектора див. у Калькулятор одиничних векторів ).
Тепер v i = 1 σ i ⋅ [ 0 1 1 2 2 0 0 1 1 ] T ⋅ u i v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i} v i = σ i 1 ⋅ ⎣ ⎡ 0 2 0 1 2 1 1 0 1 ⎦ ⎤ T ⋅ u i :
v 1 = 1 σ 1 ⋅ [ 0 1 1 2 2 0 0 1 1 ] T ⋅ u 1 = 1 2 2 ⋅ [ 0 2 0 1 2 1 1 0 1 ] ⋅ [ 6 6 6 3 6 6 ] = [ 6 6 3 2 3 6 ] v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6}\end{array}\right] v 1 = σ 1 1 ⋅ ⎣ ⎡ 0 2 0 1 2 1 1 0 1 ⎦ ⎤ T ⋅ u 1 = 2 2 1 ⋅ ⎣ ⎡ 0 1 1 2 2 0 0 1 1 ⎦ ⎤ ⋅ ⎣ ⎡ 6 6 3 6 6 6 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 6 6 2 3 6 3 ⎦ ⎤ (кроки див. у калькулятор множення матриць скалярів та калькулятор множення матриць ).
v 2 = 1 σ 2 ⋅ [ 0 1 1 2 2 0 0 1 1 ] T ⋅ u 2 = 1 2 ⋅ [ 0 2 0 1 2 1 1 0 1 ] ⋅ [ 3 3 − 3 3 3 3 ] = [ − 3 3 0 6 3 ] v_{2} = \frac{1}{\sigma_{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{3}\\- \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{3}}{3}\\0\\\frac{\sqrt{6}}{3}\end{array}\right] v 2 = σ 2 1 ⋅ ⎣ ⎡ 0 2 0 1 2 1 1 0 1 ⎦ ⎤ T ⋅ u 2 = 2 1 ⋅ ⎣ ⎡ 0 1 1 2 2 0 0 1 1 ⎦ ⎤ ⋅ ⎣ ⎡ 3 3 − 3 3 3 3 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ − 3 3 0 3 6 ⎦ ⎤ (кроки див. у калькулятор множення матриць скалярів та калькулятор множення матриць ).
Оскільки у нас закінчилися ненульові σ i \sigma_{i} σ i і нам потрібен ще один вектор, знайдіть вектор, ортогональний до всіх знайдених векторів, шляхом знаходження нульового простору матриці, рядки якої є знайденими векторами: [ 2 − 1 1 ] \left[\begin{array}{c}\sqrt{2}\\-1\\1\end{array}\right] ⎣ ⎡ 2 − 1 1 ⎦ ⎤ (кроки дивіться у Калькулятор нульового простору ).
Нормалізуйте вектор: він стане [ 2 2 − 1 2 1 2 ] \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\- \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{array}\right] ⎣ ⎡ 2 2 − 2 1 2 1 ⎦ ⎤ , (кроки див. у Калькулятор одиничних векторів ).
Тому V = [ 6 6 − 3 3 2 2 3 2 0 − 1 2 3 6 6 3 1 2 ] . V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right]. V = ⎣ ⎡ 6 6 2 3 6 3 − 3 3 0 3 6 2 2 − 2 1 2 1 ⎦ ⎤ .
Матриці U U U , Σ \Sigma Σ , та V V V такі, що початкова матриця [ 0 1 1 2 2 0 0 1 1 ] = U Σ V T \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right] = U \Sigma V^T ⎣ ⎡ 0 2 0 1 2 1 1 0 1 ⎦ ⎤ = U Σ V T .
Відповідь U = [ 6 6 3 3 − 2 2 6 3 − 3 3 0 6 6 3 3 2 2 ] ≈ [ 0.408248290463863 0.577350269189626 − 0.707106781186548 0.816496580927726 − 0.577350269189626 0 0.408248290463863 0.577350269189626 0.707106781186548 ] U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & 0.577350269189626 & -0.707106781186548\\0.816496580927726 & -0.577350269189626 & 0\\0.408248290463863 & 0.577350269189626 & 0.707106781186548\end{array}\right] U = ⎣ ⎡ 6 6 3 6 6 6 3 3 − 3 3 3 3 − 2 2 0 2 2 ⎦ ⎤ ≈ ⎣ ⎡ 0.408248290463863 0.816496580927726 0.408248290463863 0.577350269189626 − 0.577350269189626 0.577350269189626 − 0.707106781186548 0 0.707106781186548 ⎦ ⎤ A
Σ = [ 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 ] ≈ [ 2.82842712474619 0 0 0 1.414213562373095 0 0 0 0 ] \Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}2.82842712474619 & 0 & 0\\0 & 1.414213562373095 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right] Σ = ⎣ ⎡ 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 ⎦ ⎤ ≈ ⎣ ⎡ 2.82842712474619 0 0 0 1.414213562373095 0 0 0 0 ⎦ ⎤ A
V = [ 6 6 − 3 3 2 2 3 2 0 − 1 2 3 6 6 3 1 2 ] ≈ [ 0.408248290463863 − 0.577350269189626 0.707106781186548 0.866025403784439 0 − 0.5 0.288675134594813 0.816496580927726 0.5 ] V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & -0.577350269189626 & 0.707106781186548\\0.866025403784439 & 0 & -0.5\\0.288675134594813 & 0.816496580927726 & 0.5\end{array}\right] V = ⎣ ⎡ 6 6 2 3 6 3 − 3 3 0 3 6 2 2 − 2 1 2 1 ⎦ ⎤ ≈ ⎣ ⎡ 0.408248290463863 0.866025403784439 0.288675134594813 − 0.577350269189626 0 0.816496580927726 0.707106781186548 − 0.5 0.5 ⎦ ⎤ A