Espace nul de $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\4 & 1 & 7\end{array}\right]$

Trouver l'espace nul de $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\4 & 1 & 7\end{array}\right]$.

La forme échelonnée réduite de la matrice est $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & \frac{11}{7}\\0 & 1 & \frac{5}{7}\end{array}\right]$ (pour les étapes, voir calculatrice rref).

Pour trouver l'espace nul, il faut résoudre l'équation matricielle $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & \frac{11}{7}\\0 & 1 & \frac{5}{7}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right].$

Si nous prenons $x_{3} = t$, alors $x_{1} = - \frac{11 t}{7}$, $x_{2} = - \frac{5 t}{7}$.

Ainsi, $\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}- \frac{11 t}{7}\\- \frac{5 t}{7}\\t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{11}{7}\\- \frac{5}{7}\\1\end{array}\right] t.$

Il s'agit de l'espace nul.

La nullité d'une matrice est la dimension de la base de l'espace nul.

Ainsi, la nullité de la matrice est $1$.

La base de l'espace nul est $\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{11}{7}\\- \frac{5}{7}\\1\end{array}\right]\right\}\approx \left\{\left[\begin{array}{c}-1.571428571428571\\-0.714285714285714\\1\end{array}\right]\right\}.$A

La nullité de la matrice est $1$A.