Valores y vectores propios de $\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$

Encuentre los valores propios y los vectores propios de $\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$.

Comience por formar una nueva matriz restando $\lambda$ de las entradas diagonales de la matriz dada: $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right]$.

El determinante de la matriz obtenida es $\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right)$ (para los pasos, véase calculadora de determinantes).

Resuelve la ecuación $\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right) = 0$.

Las raíces son $\lambda_{1} = 1$, $\lambda_{2} = -2$ (para los pasos, véase solucionador de ecuaciones).

Estos son los valores propios.

A continuación, encuentre los vectores propios.

• $\lambda = 1$

  $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & -10\\1 & -5\end{array}\right]$

  El espacio nulo de esta matriz es $\left\{\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]\right\}$ (para los pasos, véase calculadora de espacio nulo).

  Este es el vector propio.

• $\lambda = -2$

  $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 & -10\\1 & -2\end{array}\right]$

  El espacio nulo de esta matriz es $\left\{\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]\right\}$ (para los pasos, véase calculadora de espacio nulo).

  Este es el vector propio.

Valor propio: $1$A, multiplicidad: $1$A, vector propio: $\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]$A.

Valor propio: $-2$A, multiplicidad: $1$A, vector propio: $\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$A.