Autovalori e autovettori di $\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$

Trovare gli autovalori e gli autovettori di $\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$.

Iniziare a formare una nuova matrice sottraendo $\lambda$ dalle voci diagonali della matrice data: $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right]$.

Il determinante della matrice ottenuta è $\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right)$ (per i passaggi, vedere calcolatore di determinanti).

Risolvere l'equazione $\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right) = 0$.

Le radici sono $\lambda_{1} = 1$, $\lambda_{2} = -2$ (per i passaggi, vedere risolutore di equazioni).

Questi sono gli autovalori.

Quindi, trovare gli autovettori.

• $\lambda = 1$

  $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & -10\\1 & -5\end{array}\right]$

  Lo spazio nullo di questa matrice è $\left\{\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]\right\}$ (per i passaggi, vedere calcolatore dello spazio nullo).

  Questo è l'autovettore.

• $\lambda = -2$

  $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 & -10\\1 & -2\end{array}\right]$

  Lo spazio nullo di questa matrice è $\left\{\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]\right\}$ (per i passaggi, vedere calcolatore dello spazio nullo).

  Questo è l'autovettore.

Autovalore: $1$A, molteplicità: $1$A, autovalore: $\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]$A.

Autovalore: $-2$A, molteplicità: $1$A, autovalore: $\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$A.