Wartości własne i wektory własne $\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$

Znaleźć wartości własne i wektory własne $\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$.

Rozpocznij od utworzenia nowej macierzy, odejmując $\lambda$ od wpisów na przekątnej danej macierzy: $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right]$.

Wyznacznikiem otrzymanej macierzy jest $\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right)$ (kroki można znaleźć w kalkulator wyznaczników).

Rozwiąż równanie $\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right) = 0$.

Pierwiastki są $\lambda_{1} = 1$, $\lambda_{2} = -2$ (kroki można znaleźć w rozwiązywanie równań).

Są to wartości własne.

Następnie należy znaleźć wektory własne.

• $\lambda = 1$

  $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & -10\\1 & -5\end{array}\right]$

  Przestrzeń zerowa tej macierzy to $\left\{\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]\right\}$ (kroki można znaleźć w kalkulator przestrzeni zerowej).

  Jest to wektor własny.

• $\lambda = -2$

  $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 & -10\\1 & -2\end{array}\right]$

  Przestrzeń zerowa tej macierzy to $\left\{\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]\right\}$ (kroki można znaleźć w kalkulator przestrzeni zerowej).

  Jest to wektor własny.

Wartość własna: $1$A, krotność: $1$A, wektor własny: $\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]$A.

Wartość własna: $-2$A, krotność: $1$A, wektor własny: $\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$A.