Власні значення та власні вектори $\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$

Знайдіть власні значення та власні вектори $\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$.

Почніть з формування нової матриці шляхом віднімання $\lambda$ від діагональних елементів заданої матриці: $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right]$.

Визначник отриманої матриці знаходиться за адресою $\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right)$ (кроки див. у калькулятор визначників).

Розв'яжіть рівняння $\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right) = 0$.

Коріння знаходяться за адресою $\lambda_{1} = 1$, $\lambda_{2} = -2$ (кроки дивіться у розв'язувач рівнянь).

Це власні значення.

Далі знайдемо власні вектори.

• $\lambda = 1$

  $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & -10\\1 & -5\end{array}\right]$

  Нульовий простір цієї матриці знаходиться за адресою $\left\{\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]\right\}$ (кроки див. у калькулятор нульового простору).

  Це власний вектор.

• $\lambda = -2$

  $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 & -10\\1 & -2\end{array}\right]$

  Нульовий простір цієї матриці знаходиться за адресою $\left\{\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]\right\}$ (кроки див. у калькулятор нульового простору).

  Це власний вектор.

Власне значення: $1$A, кратність: $1$A, власний вектор: $\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]$A.

Власне значення: $-2$A, кратність: $1$A, власний вектор: $\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$A.