Valeurs propres et vecteurs propres de [31014]\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]

La calculatrice trouvera les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice carrée 22x22 [31014]\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right] , avec les étapes indiquées.

Calculatrice associée: Calculatrice de polynômes caractéristiques

A

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Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de [31014]\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right].

Solution

Commencez par former une nouvelle matrice en soustrayant λ\lambda des entrées diagonales de la matrice donnée : [3λ101λ4]\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right].

Le déterminant de la matrice obtenue est (λ1)(λ+2)\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right) (pour les étapes, voir calculateur de déterminant).

Résoudre l'équation (λ1)(λ+2)=0\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right) = 0.

Les racines sont λ1=1\lambda_{1} = 1, λ2=2\lambda_{2} = -2 (pour les étapes, voir solveur d'équation).

Ce sont les valeurs propres.

Trouvez ensuite les vecteurs propres.

  • λ=1\lambda = 1

    [3λ101λ4]=[21015]\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & -10\\1 & -5\end{array}\right]

    L'espace nul de cette matrice est {[51]}\left\{\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]\right\} (pour les étapes, voir calculateur d'espace nul).

    Il s'agit du vecteur propre.

  • λ=2\lambda = -2

    [3λ101λ4]=[51012]\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 & -10\\1 & -2\end{array}\right]

    L'espace nul de cette matrice est {[21]}\left\{\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]\right\} (pour les étapes, voir calculateur d'espace nul).

    Il s'agit du vecteur propre.

Réponse

Valeur propre : 11A, multiplicité : 11A, vecteur propre : [51]\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]A.

Valeur propre : 2-2A, multiplicité : 11A, vecteur propre : [21]\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]A.