Valeurs propres et vecteurs propres de $\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$

Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de $\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$.

Commencez par former une nouvelle matrice en soustrayant $\lambda$ des entrées diagonales de la matrice donnée : $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right]$.

Le déterminant de la matrice obtenue est $\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right)$ (pour les étapes, voir calculateur de déterminant).

Résoudre l'équation $\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right) = 0$.

Les racines sont $\lambda_{1} = 1$, $\lambda_{2} = -2$ (pour les étapes, voir solveur d'équation).

Ce sont les valeurs propres.

Trouvez ensuite les vecteurs propres.

• $\lambda = 1$

  $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & -10\\1 & -5\end{array}\right]$

  L'espace nul de cette matrice est $\left\{\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]\right\}$ (pour les étapes, voir calculateur d'espace nul).

  Il s'agit du vecteur propre.

• $\lambda = -2$

  $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 & -10\\1 & -2\end{array}\right]$

  L'espace nul de cette matrice est $\left\{\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]\right\}$ (pour les étapes, voir calculateur d'espace nul).

  Il s'agit du vecteur propre.

Valeur propre : $1$A, multiplicité : $1$A, vecteur propre : $\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]$A.

Valeur propre : $-2$A, multiplicité : $1$A, vecteur propre : $\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$A.