Eigenwerte und Eigenvektoren von $\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$

Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von $\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$.

Bilden Sie zunächst eine neue Matrix, indem Sie $\lambda$ von den Diagonaleinträgen der gegebenen Matrix subtrahieren: $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right]$.

Die Determinante der erhaltenen Matrix ist $\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right)$ (für Schritte, siehe Determinantenrechner).

Lösen Sie die Gleichung $\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right) = 0$.

Die Wurzeln sind $\lambda_{1} = 1$, $\lambda_{2} = -2$ (für Schritte siehe Gleichungslöser).

Dies sind die Eigenwerte.

Als nächstes sind die Eigenvektoren zu ermitteln.

• $\lambda = 1$

  $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & -10\\1 & -5\end{array}\right]$

  Der Nullraum dieser Matrix ist $\left\{\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]\right\}$ (für Schritte siehe Nullraumrechner).

  Dies ist der Eigenvektor.

• $\lambda = -2$

  $\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 & -10\\1 & -2\end{array}\right]$

  Der Nullraum dieser Matrix ist $\left\{\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]\right\}$ (für Schritte siehe Nullraumrechner).

  Dies ist der Eigenvektor.

Eigenwert: $1$A, Multiplizität: $1$A, Eigenvektor: $\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]$A.

Eigenwert: $-2$A, Multiplizität: $1$A, Eigenvektor: $\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$A.