Eigenwerte und Eigenvektoren von [31014]\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]

[31014]\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]Der Rechner findet die Eigenwerte und Eigenvektoren der quadratischen Matrix 22x22, wobei die Schritte angezeigt werden.

Zugehöriger Rechner: Rechner für charakteristische Polynome

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Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von [31014]\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right].

Lösung

Bilden Sie zunächst eine neue Matrix, indem Sie λ\lambda von den Diagonaleinträgen der gegebenen Matrix subtrahieren: [3λ101λ4]\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right].

Die Determinante der erhaltenen Matrix ist (λ1)(λ+2)\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right) (für Schritte, siehe Determinantenrechner).

Lösen Sie die Gleichung (λ1)(λ+2)=0\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right) = 0.

Die Wurzeln sind λ1=1\lambda_{1} = 1, λ2=2\lambda_{2} = -2 (für Schritte siehe Gleichungslöser).

Dies sind die Eigenwerte.

Als nächstes sind die Eigenvektoren zu ermitteln.

  • λ=1\lambda = 1

    [3λ101λ4]=[21015]\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & -10\\1 & -5\end{array}\right]

    Der Nullraum dieser Matrix ist {[51]}\left\{\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]\right\} (für Schritte siehe Nullraumrechner).

    Dies ist der Eigenvektor.

  • λ=2\lambda = -2

    [3λ101λ4]=[51012]\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 & -10\\1 & -2\end{array}\right]

    Der Nullraum dieser Matrix ist {[21]}\left\{\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]\right\} (für Schritte siehe Nullraumrechner).

    Dies ist der Eigenvektor.

Antwort

Eigenwert: 11A, Multiplizität: 11A, Eigenvektor: [51]\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]A.

Eigenwert: 2-2A, Multiplizität: 11A, Eigenvektor: [21]\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]A.